Olá, Wendel!
Tudo bem?

Você tem o código no GitHub? Porque preciso dá uma olhada mais ampla no código.

No aguardo.

acabei de resolver esse problema só que agora quando salvo a atualização no editComponent aparece o erro no console: 

app.js:1315 POST http://localhost:3000/api/v1/categories 500 (Internal Server Error)

e no Network:

message: "SQLSTATE[23000]: Integrity constraint violation: 1062 Duplicate entry '4' for key 'PRIMARY'

Vou colocar no Github

Isso, coloca no GitHub, porque fica mais fácil para mim te ajudar.

está lá no github: https://github.com/wendelbia/laravelapivue

des de já agradeço

A sua action loadCategories está retornando o response, se debugar esse valor no seu component EditCategoryComponent vai notar que o valor está errado, precisa navegar na propriedade data para chegar no valor da categoria:
this.$store.dispatch('loadCategory', this.id)
                .then(response => {
                    console.log(response)
                    this.category = response
                })
                .catch(error => {
                    console.log(error)
                })